Zaman Kesirli Isı Denkleminin Yapay Sinir Ağları ile Sayısal Çözümü

Abstract

Kesirli diferansiyel denklemler, geçmişe bağlı süreçleri modelleyebilme özellikleri nedeniyle fizik, mühendislik ve uygulamalı matematik alanlarında önemli bir çalışma konusu haline gelmiştir. Bu tez çalışmasında, klasik ısı denkleminin genelleştirilmiş bir modeli olan kesirli ısı denkleminin yapay sinir ağları (YSA) yöntemi ile sayısal çözümü ele alınmıştır. Çalışmanın temel amacı, yapay sinir ağlarının kesirli ısı denklemlerinin çözümündeki uygulanabilirliğini ve doğruluğunu incelemek ve Fibonacci fonksiyonunun aktivasyon fonksiyonu olarak kullanılmasının çözüm doğruluğu üzerindeki etkilerini araştırmaktır. Bu kapsamda öncelikle kesirli hesaplamanın temel kavramları, Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu ve Caputo kesirli türev tanımı incelenmiş, ardından kesirli ısı denkleminin matematiksel yapısı ele alınmıştır. Çalışmada yapay sinir ağı modeli oluşturulurken giriş katmanı, gizli katman ve çıkış katmanından oluşan ağ yapısı kullanılmış; veriler ağa uygulanarak ağırlık değerleri belirlenmiş ve ileri besleme yöntemi ile çıktılar elde edilmiştir. Daha sonra hata hesaplanarak geri yayılım algoritması yardımıyla ağ eğitilmiş ve Fibonacci tabanlı aktivasyon fonksiyonu kullanılarak modelin performansı geliştirilmiştir. Elde edilen yaklaşık çözümler grafikler ve sayısal veriler yardımıyla analiz edilmiş, farklı kesir mertebeleri için çözüm davranışları incelenmiştir. Yapılan değerlendirmeler sonucunda, Fibonacci fonksiyonunun aktivasyon fonksiyonu olarak kullanılmasının çözüm doğruluğunu olumlu yönde etkilediği ve yapay sinir ağlarının kesirli ısı denklemlerinin çözümünde etkili ve uygulanabilir sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.Fractional differential equations have become an important field of study in physics, engineering, and applied mathematics due to their ability to model processes with memory effects. In this thesis, the numerical solution of the fractional heat equation, a generalized form of the classical heat equation, is investigated using an artificial neural network (ANN) method. The main objective of this study is to examine the applicability and accuracy of artificial neural networks in solving fractional heat equations and to investigate the effect of using the Fibonacci function as an activation function on solution accuracy. Within this scope, the fundamental concepts of fractional calculus, the Gamma function, the Beta function, and the Caputo fractional derivative definition are first reviewed. Then, the mathematical structure of the fractional heat equation is analyzed. In constructing the artificial neural network model, a structure consisting of an input layer, a hidden layer, and an output layer is used. Data are fed into the network, weights are determined, and outputs are obtained via a feedforward process. The network is then trained by calculating the error and applying the backpropagation algorithm, and the model performance is improved using a Fibonacci-based activation function. The obtained approximate solutions are analyzed using graphs and numerical results, and the solution behavior is examined for different fractional orders. The results show that using the Fibonacci function as an activation function positively affects solution accuracy, and that artificial neural networks provide effective and applicable results for solving fractional heat equations.