Zaman Ölçekleri Hesabında Çeşitli Fonksiyonlar için Ters Minkowski Eşitsizliğinin Yeni Genelleştirmeleri

Abstract

Bu tez çalışmasında, zaman skalası teorisi kapsamında ters Minkowski eşitsizliği incelenmiş ve bu eşitsizliğin diamond alfa türevi aracılığıyla daha genel bir biçimde ifade edilmesi amaçlanmıştır. Çalışmanın ilk bölümünde zaman skalası teorisinin temel kavramları ele alınmış; delta ve nabla türevleri ayrıntılı bir şekilde tanımlanmış, bu türevlerin temel özellikleri örneklerle birlikte açıklanmıştır. Diamond alfa türevi, delta ve nabla türevlerinin birleşimi şeklinde tanımlanarak, sürekli ve ayrık zaman sistemlerinin analizine aynı anda olanak tanıyan bütüncül bir yaklaşım sunmuştur. Bu türev yapısının kullanılmasıyla birlikte, klasik analizde önemli bir yer tutan Hölder ve Minkowski eşitsizlikleri zaman skalaları üzerinde yeniden yapılandırılmış ve bu eşitsizliklerin daha genel versiyonları elde edilmiştir. Özellikle Benaissa tarafından geliştirilen ters Minkowski eşitsizliğinin zaman skalası ortamında diamond alfa türevine dayalı yeni biçimleri başarıyla türetilmiş ve ispatlanmıştır. Elde edilen sonuçlar, literatürdeki mevcut teorilere katkı sunarken aynı zamanda zaman skalası analizinin kapsayıcılığını ve uygulama alanlarını genişletmiştir. Bu tez, farklı zaman yapılarında çalışan araştırmacılar için yeni bakış açıları sunmakta ve matematiksel analizde önemli bir boşluğu doldurmaktadır.In this thesis, the reverse Minkowski inequality is examined within the scope of time scale theory, and it is aimed to generalize this inequality by means of the diamond-alpha derivative. In the initial part of the study, the fundamental concepts of time scale theory are discussed; delta and nabla derivatives are defined in detail, and their basic mathematical properties are explained with illustrative examples. The diamond-alpha derivative is formulated as a combination of the delta and nabla derivatives, offering a unified approach that simultaneously facilitates the analysis of both continuous and discrete dynamic systems. Utilizing this derivative structure, the classical Hölder and Minkowski inequalities, which play a significant role in classical analysis, are reconstructed on time scales, and more generalized versions of these inequalities are obtained. In particular, new forms of the reverse Minkowski inequality, originally developed by Benaissa, are successfully derived and proven within the framework of the diamond-alpha derivative on time scales. The findings contribute to existing theories in the literature and further expand the scope and applicability of time scale analysis. This thesis offers new perspectives for researchers working with diverse time domains and fills an important gap in the field of mathematical analysis.